Сайт o сименсе

2.4.5. Линейные коды

ЭНЦИКЛОПЕДИЯ WiMAX ПУТЬ К 4G - В. Портной

 

Отметим также, что существуют коды, для которых сферы радиуса г за­нимают все пространство Хемминга точек между сферами не остается. Это свойство выполняется при соблюдении следующего условия (равенство объемов 2* шаров радиуса г и объема всего пространства Хемминга)

1=0

Это условие называется границей Хемминга, а коды — соответствующими этому условию, лежащими на границе Хемминга, или совершенными кодами. В случае декодирования совершенных кодов по расстоянию г вероятность об­наружения ошибки будет равна 0 — будет либо ошибочное, либо правильное декодирование.

2.4.5. Линейные коды

Линейные коды состашшют лишь небольшой подкласс блочных кодов, однако благодаря своей красивой структуре они стали основным объектом в теории ко­дирования. Пусть V,, — векторное пространство размерности п над полем О¥(д). Подпространство размерности к пространства V,, называется д-ы линейным ко­дом длины п с к информационными символами или (п,к) кодом.

Если А — линейный код, то подпространство А будем называть линейным подкодом .4. При д = 2 линейные коды называются групповыми. Пусть — минимальное расстояние линейного кода А. Тогда для любого ненулевого векто­ра V 6 А выполняется неравенство ы(у) = ю(у — 0) л ёт1т т а к к а к нулевой вектор также принадлежит коду .4. Для определения линейного кода удобно пользовать­ся матрицей О. Пусть <7ь<?2>- • • •§* есть некоторый базис (п,к) кода .4 и плеть матрица О — матрица из к строк и п столбцов, 1-я строка которой — базисный вектор <7,. Матрица О называется порождающей матрицей кода .4. Из свойства базиса следует, что любой кодовый вектор может быть представлен как линейная комбинация строк g\.g>,... ^к матрицы О и, наоборот, любая линейная комбина­ция строк §1%91,...,§Ъ матрицы О представляет собой кодовый вектор и. более того, различные кодовые комбинации представляют собой различные кодовые векторы. Общее число кодовых векторов равно д.